Question

已知點(diǎn)N（

5

2

，0），以N為圓心的圓與直線l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（Ⅰ）求圓N的方程；
（Ⅱ）設(shè)l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E（4，1），試判斷直線l與圓N的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：圓N與直線y=x相切，可得圓的半徑為

5

2 2

，進(jìn)而求出圓的方程．
（II）由題可得：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a），結(jié)合題意可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8-a，2-a），所以a=5，即可求出直線l的方程，再根據(jù)圓心到直線的距離可得直線與圓的位置關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：點(diǎn)N（

5

2

，0）為圓心，并且圓N與直線y=x相切，
所以圓N的半徑為

5

2 2

，
所以圓N的方程(x-

5

2

)2+y2=

25

8

．  
（II）由題意可得：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a），
因?yàn)锳B中點(diǎn)為E（4，1），所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8-a，2-a），
又因?yàn)辄c(diǎn)B 在直線y=-x上，
所以a=5，
所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，5），
又因?yàn)锳B中點(diǎn)為E（4，1），
所以直線l的斜率為4，
所以l的方程為4x-y-15=0，
圓心N到直線l的距離

5 17

17

＜

5 2

4

，所以直線l與圓N相交．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓與直線的位置關(guān)系的判斷．