Question

已知二次函數(shù)（R）．

（1）解不等式；

（2）函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）時(shí)，解集為R；或時(shí)，解集為；或時(shí)，解集為；（2）。

【解析】

試題分析：（1）這是一道含參數(shù)一元二次不等式問題，因?yàn)榕袆e式含有參數(shù)，需要對(duì)進(jìn)行分類討論；

（2）思路一：函數(shù)在上有零點(diǎn)，即函數(shù)圖像在區(qū)間上與軸有交點(diǎn)，然后就交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分類討論。思路二：函數(shù)在上有零點(diǎn)，即方程

有根，可化為，然后對(duì)進(jìn)行討論，不為零時(shí)，可化為，然后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)在上的最值問題。

試題解析：（1）方程的判別式，

當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為R；

當(dāng)或時(shí)，，不等式的解集為；

當(dāng)或時(shí)，，

不等式的解集為． 6分

（2）法1：當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)0；

當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)-1；

當(dāng)時(shí)，考慮到，對(duì)稱軸，則有，得，

所以；

時(shí)，考慮到，對(duì)稱軸，則有，得，

所以．

綜上，的取值范圍為． 16分

法2：由，得①，

對(duì)于，，則，，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506145168367441/SYS201502150615047622493821_DA/SYS201502150615047622493821_DA.042.png">②

若，則②不成立，故可得，．

令，則．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506145168367441/SYS201502150615047622493821_DA/SYS201502150615047622493821_DA.008.png">．

的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：（1）含參數(shù)一元二次不等式的解法；（2）一元二次方程根的分布問題；（3）構(gòu)造函數(shù)及分類討論思想的應(yīng)用。