Question

如圖，點是以線段為直徑的圓上一點，于點，過點作圓的切線，與的延長線交于點，點是的中點，連結(jié)并延長與相交于點，延長與的延長線相交于點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：是圓的切線.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見試題解析；（Ⅱ）詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，可得，從而可得

通過等量代換及題設(shè)“點是的中點”可得.

（Ⅱ）目標(biāo)是要證是直角，連結(jié)便可看出只要證得是等腰三角形即可．顯然是等腰三角形。因為直徑上的圓周角是直角，，所以是直角三角形. 由（Ⅰ）得所以，從而本題得證.

試題解析：證明：（Ⅰ） 是圓的直徑，是圓的切線，

．又，

．

可以得知，    ．

．．

是的中點，．．               5分

（Ⅱ）連結(jié)．

是圓的直徑，．

在中，由（Ⅰ）得知是斜邊的中點，

．．

又，．

是圓的切線，

，

是圓的切線．                                               10分

考點：1、相似三角形；2、圓的性質(zhì)；3、等量代換；4、直角三角形斜邊上的中線；5、幾何證明