Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x的圖象C上存在一點(diǎn)P滿足：若過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂為定值y₀，則y₀的值為（　�。�

• A．-

  1

  3

• B．-

  2

  3

• C．-

  4

  3

• D．-2

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知P點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，由此求出函數(shù)的對(duì)稱中心，即可求出定值，從而得出正確選項(xiàng)．

解答：解：P為定點(diǎn)，y₁+y₂為定值，可以得出M、N兩點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函數(shù)的對(duì)稱中心點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P點(diǎn)為（-1，-

1

3

）
y₀=y₁+y₂=-

1

3

×2=-

2

3

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，P點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是解題的突破口，屬于中檔題．