Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面積為

3 3

4

．求邊長a．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的最大值為1，及函數(shù)最大值是2，列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由f（A）=1及第一問確定的函數(shù)解析式，得到sin（2A+

π

6

）的值，由A為三角形的內角，求出2A+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出2A+

π

6

的值，得到A的度數(shù)，利用正弦定理化簡sinB=3sinC，得到b與c的方程，由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入，得到b與c的另一個方程，聯(lián)立兩方程求出b與c的長，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的長．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x+m
=

3

sin2x+（1+cos2x）+m
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+m+1
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∵正弦函數(shù)在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上是增函數(shù)，在區(qū)間[

π

2

，

7π

6

]上是減函數(shù)，
∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上取到最大值，
由f（x）_max=m+3=2，解得：m=-1；
（2）由m=-1，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∵f（A）=1，∴2sin（2A+

π

6

）=1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，，又2A+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
解得：A=0（舍去）或A=

π

3

，
∵sinB=3sinC，
∴利用正弦定理化簡得：b=3c①，
∵△ABC面積為

3 3

4

，A=

π

3

，即sinA=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，
整理得：bc=3②，
聯(lián)立①②，解得：b=3，c=1，
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=3²+1²-2×3×1×cos

π

3

=7，
∴a=

7

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調性，三角形的面積公式，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．