Question

如圖，某住宅小區(qū)在圍墻的墻角處有一矩形綠地ABCD，周圍均為荒地，開(kāi)發(fā)商欲把墻角處改造擴(kuò)建成一個(gè)更大的綠地三角形花園AEF，要求EF過(guò)點(diǎn)C，若AB長(zhǎng)15m，AD長(zhǎng)10m．
（1）要使綠地AEF的面積不超過(guò)400m²，則AE的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）若在改造擴(kuò)建過(guò)程中，原綠地改造的費(fèi)用為每平方100元，旁邊荒地改造的費(fèi)用為每平方200元，則當(dāng)AE的長(zhǎng)度是多少時(shí)，開(kāi)發(fā)商投入的費(fèi)用最小？并求出最小費(fèi)用．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BE的長(zhǎng)，求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得△AEF的面積，利用綠地AEF的面積不超過(guò)400m²，建立不等式，即可求得AE的范圍；
（2）由題意，荒地改造的面積最小時(shí)，開(kāi)發(fā)商投入的費(fèi)用最小，此時(shí)△AEF的面積最�。�

解答：解：（1）設(shè)BE=xm，則DF=

150

x

m
∴AE=15+x，AF=

150

x

+10
∴△AEF的面積為

1

2

（15+x）（

150

x

+10）m²，
∵綠地AEF的面積不超過(guò)400m²，
∴

1

2

（15+x）（

150

x

+10）≤400
∴x²-50x+225≤0
∴5≤x≤45
∴20≤AE≤60
（2）由題意，荒地改造的面積最小時(shí)，開(kāi)發(fā)商投入的費(fèi)用最小，此時(shí)△AEF的面積最�。�
△AEF的面積為

1

2

（15+x）（

150

x

+10）=

1

2

(

2250

x

+10x+300)≥300，當(dāng)且僅當(dāng)

2250

x

=10x，即x=15，AE=30m時(shí)，
開(kāi)發(fā)商投入的費(fèi)用最小，最小為100×15×10+200×（300-150）=45000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查解不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定△AEF的面積．