Question

14．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ．
（1）求曲線C₁的極坐標方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若射線l：y=kx（x≥0）與曲線C₁，C₂的交點分別為A，B（A，B異于原點），當斜率k∈（1，$\sqrt{3}$]時，求|OA|•|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將C₁的參數(shù)方程化為普通方程，再華為極坐標方程，將C₂的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標與直角坐標的對應關(guān)系得出C₂的直角坐標方程；
（2）求出l的參數(shù)方程，分別代入C₁，C₂的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|關(guān)于k的函數(shù)，根據(jù)k的范圍得出答案．

解答 解：（1）曲線C₁的直角坐標方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0，
∴曲線C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ=sinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²=y．
（2）設射線l的傾斜角為α，
則射線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，$\frac{π}{4}＜α≤\frac{π}{3}$）．
把射線l的參數(shù)方程代入曲線C₁的普通方程得：t²-2tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=2cosα．
∴|OA|=|t₂|=2cosα．
把射線l的參數(shù)方程代入曲線C₂的普通方程得：cos²αt²=tsinα，
解得t₁=0，t₂=$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OB|=|t₂|=$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OA|•|OB|=2cosα•$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$=2tanα=2k．
∵k∈（1，$\sqrt{3}$]，∴2k∈（2，2$\sqrt{3}$]．
∴|OA|•|OB|的取值范圍是（2，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．