Question

設(shè)x∈Z，則函數(shù)f(x)=cos

π

3

x的值域是

 

．

Answer 1

分析：本題中的函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，隨著自變量的變化，函數(shù)值會(huì)周期性的出現(xiàn)，可以采取分類(lèi)討論的方法求其值域．

解答：解：T=

2π

π 3

=6
當(dāng)x=6k，k∈z時(shí)，f(x)=cos(

π

3

× 6k)=cos（k×2π）=1
當(dāng)x=6k+1，k∈z時(shí)，f(x)=cos[

π

3

× (6k+1)]=cos（k×2π+

π

3

）=

1

2

當(dāng)x=6k+2，k∈z時(shí)，f(x)=cos[

π

3

× (6k+2)]=cos（k×2π+

2π

3

）=-

1

2

當(dāng)x=6k+3，k∈z時(shí)，f(x)=cos[

π

3

× (6k+3)]=cos（k×2π+π）=-1
當(dāng)x=6k+4，k∈z時(shí)，f(x)=cos[

π

3

× (6k+4)]=cos（k×2π+

4π

3

）=-

1

2

當(dāng)x=6k+5，k∈z時(shí)，f(x)=cos[

π

3

× (6k+5)]=cos（k×2π+

5π

3

）=

1

2

函數(shù)的值是{-1， -

1

2

，

1

2

， 1 }
故答案為{-1， -

1

2

，

1

2

， 1 }

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是余弦函數(shù)的定義域和值域，考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的值域，本題中考慮到函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，故求出其周期后，把函數(shù)值分成六類(lèi)來(lái)求解，用到了分類(lèi)討論的思想．