Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)

（1）若是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax²＋x，

f¢(x)＝－－2ax＋1＝－．                       …2分

令Δ＝1－8a．

當(dāng)a≥時(shí)，Δ≤0，f¢(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減．              …4分

當(dāng)0＜a＜時(shí)，Δ＞0，方程2ax²－x＋1＝0有兩個(gè)不相等的正根x₁，x₂，

不妨設(shè)x₁＜x₂，

則當(dāng)x∈(0，x₁)∪(x₂，＋∞)時(shí)，f¢(x)＜0，當(dāng)x∈(x₁，x₂)時(shí)，f¢(x)＞0，

這時(shí)f(x)不是單調(diào)函數(shù)．

綜上，a的取值范圍是[，＋∞)．                                  …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)且僅當(dāng)a∈(0，)時(shí)，f(x)有極小值點(diǎn)x₁和極大值點(diǎn)x₂，

且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

f(x₁)＋f(x₂)＝－lnx₁－ax＋x₁－lnx₂－＋x₂

＝－(lnx₁＋lnx₂)－(x₁－1)－ (x₂－1)＋(x₁＋x₂)

＝－ln(x₁x₂)＋ (x₁＋x₂)＋1＝ln(2a)＋＋1．                       …9分

令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，

則當(dāng)a∈(0，)時(shí)，g¢(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)單調(diào)遞減，

所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x₁)＋f(x₂)＞3－2ln2．                   …12分

【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，考查學(xué)生利用求導(dǎo)研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。第一問(wèn)借助函數(shù)為單調(diào)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第二問(wèn)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性分析得到函數(shù)的最值達(dá)到證明不等式的目的.