Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=1，BB₁=2，連接B₁C，過B點作B₁C．
的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（I）求證：A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直線DE與平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

法一：（I）證明：連接AC，由底面ABCD為正方形，得AC⊥DB．
∵AC是A₁C在平面ABCD內(nèi)的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，且A₁C在平面BB₁C₁C內(nèi)的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又BE∩BD=B∴A₁C⊥平面EBD

（Ⅱ）解：連接DF，A₁D∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C
∴EF⊥平面A₁B₁C∴∠EDF即為直線ED與平面A₁B₁C所成的角
由條件AB=BC=1，BB₁=2
可知

∴∴

解法二：（I）證明：如圖以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則∵
∴，
即A₁C⊥BE，A₁C⊥DE∵BE∩DE=E∴A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）解：設(shè)平面A₁B₁C的一個法向量為=（x，y，z）
則
令z=1，得m=（0，2，1），又
設(shè)與所成角為θ，則．從而把直線
∴直線ED與平面A₁B₁C所成角的正弦值為．
分析：（法一）
（I）由正方形的性質(zhì)可得AC⊥DB，而A₁C在平面ABCD內(nèi)的斜線，由三垂線的逆定理可得A₁C⊥BD①，又A₁C在平面BB₁C₁C內(nèi)的射影
B₁C⊥BE，同理可得BEA₁C⊥BE②由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證
（II）由（I）可得EF⊥平面A₁B₁C，考慮連接DF，根據(jù)三垂線定理可得∠EDF即為直線ED與平面A₁B₁C所成的角，在直角三角形EDF中，求解∠EDF即可．
（法二）如圖以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
（I）要證A₁C⊥平面EBD??，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可證
（II）分別求解平面A₁B₁C的一個法向量為，DE與平面A₁B₁C所成角轉(zhuǎn)化為所成的角，代入公式可求
點評：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系：垂直關(guān)系的判定定理的運(yùn)用，直線與平面所成角的求解，在解決此類問題時，采用空間向量的方法，可以很容易尋求解題思路，但要注意直線與平面所成的角的范圍．