Question

1．已知正方形ABCD，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)．BE、CF交于點(diǎn)P．求證：（1）BE⊥CF；（2）AP=AB．

Answer 1

分析 （1）連接BF，由已知推導(dǎo)出△BCE≌△CDF，從而∠PCE+∠CEP=90°，由此能證明BE⊥CF．
（2）先推導(dǎo)出點(diǎn)A、B、P、F四點(diǎn)共圓，從而∠AFB=∠APB，再由△ABF≌△BCE，推導(dǎo)出∠APB=∠ABP，由此能證明AP=AB．

解答 證明：（1）連接BF，
∵E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn)，
∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠CBE=∠FCD，∠BEC=∠CFD，
∴∠PCE+∠CEP=∠DCE+∠CFD=90°，
∴BE⊥CF．
（2）∵BE⊥CF，∴∠FPB=90°，又∠DAB=90°，
∴點(diǎn)A、B、P、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFB=∠APB，
∵AB=BC，∠ABF=∠BCE，AF=CE，
∴△ABF≌△BCE，
∴90°-∠CBE=90°-∠ABF，即∠ABP=∠AFB，
∴∠APB=∠ABP，∴AP=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線垂直和兩線段相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意四點(diǎn)共圓和三角形全等的性質(zhì)的合理運(yùn)用．