Question

給出下列五個(gè)結(jié)論其中正確的是（ ）
①若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）²+y²=3，則的最大值為；②橢圓與橢圓有相同的離心率；③雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），（-1，0）④圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有 公共點(diǎn)的充要條件是⑤設(shè)a＞1，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．
A．①②③
B．②③④
C．①②③⑤
D．①②④⑤

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)逐一判斷，①應(yīng)用斜率的幾何意義，把看成點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率，即可通過(guò)求圓的切線斜率來(lái)計(jì)算；②橢圓的離心率e=，所以要判斷兩個(gè)橢圓的離心率是否相同，只需求出兩個(gè)橢圓中的a，c的值；③要求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，必須求出c的值以及焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸；④直線與圓若沒有公共點(diǎn)，這直線與圓相離，圓心到直線的距離大于半徑；⑤要求離心率的范圍，只需用含參數(shù)a的式子表示離心率，再根據(jù)a的范圍求出e的范圍．
解答：解：①=，可看成點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線的斜率，也即圓（x-2）²+y²=3上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率．
∴的最值即為過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的圓的切線方程為y=kx，即kx-y=0，
圓（x-2）²+y²=3的圓心（2，0）到直線kx-y=0的距離=，解得k=±，∴的最大值為，∴①正確．
②橢圓中a=2，c=1，∴離心率為，橢圓中a=，c=，∴離心率為，∴②正確．
③∵雙曲線方程為，∴（2-k）（3-k）＜0，∴2＜k＜3，∴2-k＜0.3-k＞0，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
且c²=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±1），∴③錯(cuò)誤．
④若圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑，即＞1，解得，-＜k＜，若-＜k＜，則圓心到直線的距離大于半徑，∴圓與直線無(wú)公共點(diǎn)，∴圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有 公共點(diǎn)的充要條件是，∴④正確．
⑤∵雙曲線方程為，∴c²=a²+（a+1）²，
∴e²===++2=+1，∵a＞1，∴0＜＜1，
∴2＜e²＜5，∴＜e＜∴⑤正確．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線的一些性質(zhì)，因?yàn)槭嵌噙x題，只需逐個(gè)判斷即可．