已知向量
a
=(sin(ωx+φ),2),
b
=(1,cos(ωx+φ)),ω>0,0<φ<
π
4
.函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
),若y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與它相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為1,且過(guò)點(diǎn)M(1,
7
2
).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)-1≤x≤1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
分析:(Ⅰ)首先由向量運(yùn)算以及三角恒等變換化簡(jiǎn)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=-cos(2ωx+2φ)+3,再由y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與它相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為1判斷出函數(shù)的周期是4,由周期公式求得ω,再由圖象過(guò)點(diǎn)M(1,
7
2
),代入求得φ,即得函數(shù)f(x)的表達(dá)式.
(Ⅱ)當(dāng)-1≤x≤1時(shí),代入求得相位的取值范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
=sin2(ωx+φ)+4-1-cos2(ωx+φ),
=-cos(2ωx+2φ)+3
由題意得周期T=
=4,故ω=
π
4
…(4分)
又圖象過(guò)點(diǎn)M(1,
7
2
),所以
7
2
=3-cos(
π
2
+2φ)
即sin2φ=
1
2
,而0<φ<
π
4
,所以2φ=
π
6

∴f(x)=3-cos(
π
2
x+
π
6

(2)當(dāng)-1≤x≤1時(shí),-
π
3
π
2
x+
π
6
3

∴當(dāng)-
π
3
π
2
x+
π
6
≤0時(shí),即x∈[-1,-
1
3
]時(shí),f(x)是減函數(shù)
當(dāng)0≤
π
2
x+
π
6
3
時(shí),即x∈[-
1
3
,1]時(shí),f(x)是增函數(shù)
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是[-1,-
1
3
],單調(diào)增區(qū)間是[-
1
3
,1]
點(diǎn)評(píng):本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性,求解本題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角恒等變換求出函數(shù)的解析式,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,-2),
b
=(cosθ,1)
(1)若
a
b
,求tanθ;
(2)當(dāng)θ∈[-
π
12
,
π
3
]時(shí),求f(θ)=
a
b
-2|
a
+
b
|2的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,1),
b
=(1,-cosθ),θ∈(0,π)
(Ⅰ)若
a
b
,求θ;
(Ⅱ)若
a
b
=
1
5
,求tan(2θ+
π
4
)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,cosθ),
b
=(2,1),滿(mǎn)足
a
b
,其中θ∈(0,
π
2
)

(I)求tanθ值;
(Ⅱ)求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,cosθ)與
b
=(
3
,1),其中θ∈(0,
π
2

(1)若
a
b
,求sinθ和cosθ的值;
(2)若f(θ)=(
a
b
)
2
,求f(θ)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,
3
cosθ),
b
=(1,1).
(1)若
a
b
,求tanθ的值;
(2)若|
a
|=|
b
|,且0<θ<π,求角θ的大。

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