Question

已知函數(shù)．
（I）當(dāng)t=1時(shí)，若函數(shù)y=f（x+a）+b是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（II）當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-2，t）上是否存在極值點(diǎn)？若存在，請找出極值點(diǎn)并論證是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)t=1時(shí)，記h（x）=f（x+a）+b=，求導(dǎo)函數(shù)得h′（x）=x²+（2a-1）x+a²-a
根據(jù)h（x）為奇函數(shù)，可得，利用 h′（x）為偶函數(shù)，得2a-1=0，從而可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（II），令f′（x）=0解得：，
，進(jìn)而探求在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號的改變，從而確定極值點(diǎn)．
解答：解：（I）當(dāng)t=1時(shí)，記h（x）=f（x+a）+b=
則h′（x）=x²+（2a-1）x+a²-a
∵h(yuǎn)（x）為奇函數(shù)
∴（1）------（3分）
且 h′（x）為偶函數(shù)  即2a-1=0（2）------（5分）
由（1）、（2）解得：，．------（7分）
（II）
令f′（x）=0解得：，------（9分）
（i）當(dāng)1＜t＜4時(shí)，則有-2＜x₁＜x₂＜t
∴f′（x）在（-2，x₁）和（x₂，t）為正，在（x₁，x₂）為負(fù)
∴f（x）在（-2，x₁）和（x₂，t）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減
此時(shí)，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)；------（12分）
（ii）當(dāng)t＞4時(shí)，有＜x₂＜t
∴f′（x）在（-2，x₂）為負(fù)，（x₂，t）為正
∴f（x）在（-2，x₂）上遞減，在（x₂，t）上遞增
此時(shí)，為極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．------（15分）
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，并注意在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號的改變．