曲線y=0,y=
x
,y=x-2
所圍成的封閉圖形的面積為
10
3
10
3
分析:聯(lián)立方程,先求出其交點(diǎn)坐標(biāo),再利用微積分基本定理定理即可得出.
解答:解:聯(lián)立方程
y=x-2
y=
x
可得B(4,2),A(2,0)
由積分的幾何意義可得S=
2
0
x
dx+
4
2
(
x
-x+2)dx
=
2
3
x
3
2
|
2
0
+
2
3
x
3
2
-
1
2
x2+2x
|
4
2

=
4
2
3
+
16
3
-
4
2
3
-
1
2
×12+4
=
10
3

故答案為:
10
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了積分基本定理及積分的幾何意義的應(yīng)用,熟練掌握微積分基本定理定理是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

曲線y=x3-2x在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,試求a的取值范圍;
②寫出一組數(shù)a,x0(x0≠3,保留4位有效數(shù)字),使得f(x0)<0成立;
(2)在曲線y=x-
2
x
上存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求出其坐標(biāo);若曲線y=x+
p
x
(p≠0)上存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求實(shí)數(shù)p的范圍;
(3)當(dāng)0<a<1時(shí),就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點(diǎn)情況提出你的問題,并取a=
1
16
a=
2
2
加以研究.當(dāng)0<a<1時(shí),就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點(diǎn)情況提出你的問題,并加以解決.(說明:①函數(shù)f(x)=xlnx有如下性質(zhì):在區(qū)間(0,
1
e
]
上單調(diào)遞減,在區(qū)間[
1
e
,1)
上單調(diào)遞增.解題過程中可以利用;②將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

曲線y=x+ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為( 。
A、2x+y-1=0B、x+2y-1=0C、2x-y+1=0D、x-2y+1=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆黑龍江虎林高中高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=alnx-x2+1.

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x-y+b=0,求實(shí)數(shù)a和b的值;

(2)若a<0,且對(duì)任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范圍.

【解析】第一問中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

第二問中,利用當(dāng)a<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,

即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解得。

(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

(2)當(dāng)a<0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

不妨設(shè)0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2

令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),

∵g′(x)=-2x+1=(x>0),

∴-2x2+x+a≤0在x>0時(shí)恒成立,

∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,

∴a的取值范圍是

 

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