Question

如圖，在三棱錐S－ABC中，A₁、B₁、C₁分別是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，

(1)求證：平面A₁B₁C₁∥平面ABC；

(2)求三棱錐S－A₁B₁C₁與S－ABC體積之比．

Answer 1

答案：
解析：

證：(1)：∵A1、B1、C1是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，連SA1、SC1并延長交BC、AB于N、M，則N、M必是BC和AB的中點(diǎn)．連MN 　　∵＝＝， 　　∴A1C1∥MN． 　　∵M(jìn)N平面ABC， 　　∴A1C1∥平面ABC． 　　同理可證A1B1∥平面ABC． 　　∴平面A1B1C1∥平面ABC． 　　(2)由(1)＝，MN∥AC， 　　∴A1C1∥AC． 　　同理可證：A1B1∥AB， 　　B1C1∥BC． 　　∴ΔA1B1C1≌ΔABC， 　　S＝SΔABC． 　　設(shè)三棱錐S－ABC的高為h，S－A1B1C1的高為h1則有：＝＝，∴h1＝h． 　　∴＝＝． 　　評析：要掌握線面平行的相互轉(zhuǎn)化的思想方法外，還要有扎實(shí)的相似形和線段成比例的基礎(chǔ)．

提示：

本題顯然應(yīng)由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合成比例線段的關(guān)系推導(dǎo)出“線線平行”再到“線面平行”到“面面平行”，至于體積的比的計(jì)算只要能求出相似三角形面積的比和對應(yīng)高的比就可以了．