Question

已知函數．
（I）當a=1時，求函數f（x）在點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）求a＞2時，函數f（x）在區(qū)間（-1，1）上的極值．

Answer 1

解：（I）當a=1時，f（x）=x³-x²+，f′（x）=x²-2x…（2分）
∴k=f′（1）=1-2=-1，f（1）=-1+=0，
∴y-0=-（x-1）
即x+y-1=0為所求切線方程．…（4分）
（II），f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-），
令f'（x）=0得x=0或x=…（6分）
當a＞2時，0＜＜1，
令f'（x）＞0可得x＜0或x＞；令f'（x）＜0可得0＜x＜，
∴f（x）在（-1，0）遞增，在（0，）遞減，在（，1）遞增
∴f（x）的極大值為f（0）=，f（x）的極小值為f（）=-+ …（10分）
分析：（I）當a=1時，利用導數的幾何意義，確定切線的斜率，求得切點坐標，即可得到切線方程；
（II）當a＞2時，求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的極大值和極小值．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，正確求導，恰當計算是關鍵．