已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上的點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為2
2
，離心率e=
2
2

（I）求橢圓的方程；
（II）過右焦點(diǎn)F2且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試問：險(xiǎn)段OF2上是否存在一點(diǎn)M，使得|MA|=|MB|？請(qǐng)作出并證明．
分析：（I）根據(jù)點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之和求得a，進(jìn)而根據(jù)離心率e求得c，再根據(jù)b=
a2-c2
求得b，橢圓的方程可得．
（II）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），以及AB的中點(diǎn)C（x0，y0），根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2的表達(dá)式，根據(jù)x0=
x1+x2
2
進(jìn)而可得x0和y0的表達(dá)式，再根據(jù)設(shè)滿足條件的點(diǎn)M（m，0），根據(jù)CM⊥AB，kCM•kAB=-1，代入即可得到m和k的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)k的范圍確定m的范圍，進(jìn)而判斷存在滿足條件的點(diǎn)M．
解答：解：（I）橢圓的方程圓
x2
a2
+
y2
b2
=1設(shè)a＞b
∵點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為2
2
，
∴2a=2
2
，a=
2

∵離心率e=
c
a
=
2
2
，
∴c=1，b=
a2-c2
=1
∴所求橢圓的方程為
x2
2
+y2= 1
（II）存在滿足條件的M，
證明：設(shè)直線的方程為y=k（x-1）（k≠0）
由
x2+2y22
y=k(x-1)

可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），以及AB的中點(diǎn)C（x0，y0），
∴x1+x2=
4k2
1+2k2

∴x0=
x1+x2
2
=
2k2
1+2k2
，y0=k（x0-1）=-
k 
1+2k2

再設(shè)滿足條件的點(diǎn)M（m，0），則0≤m≤1，
所以CM⊥AB，則kCM•kAB=-1
由kCM=
k 
1+2k2
-0
2k2
1+2k2
-m
=
-
k 
1+2k2
2k2
1+2k2
-m

∴
-
k 
1+2k2
2k2
1+2k2
-m
•k=-1，解得m=
1
2+
1
k2

∵k2＞0，可得0＜m＜
1
2
，故存在滿足條件的點(diǎn)M．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓與直線的關(guān)系和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．圓錐曲線的問題是歷年來(lái)高考中重點(diǎn)考查的題型，故應(yīng)加強(qiáng)這方面的復(fù)習(xí)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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