Question

如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，，作//，分別交，于點(diǎn)，，作//，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．
（1）求證：平面； 
（2）若點(diǎn)E為四邊形BCQP內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且二面角E-AP-Q的余弦值為,求|BE|的最小值.

Answer 1

（1）參考解析;（2）

試題分析：（1）依題意可得.即翻折后的.所以由.可得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052459093519.png" style="vertical-align:middle;" />,所以可得：平面.
（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系,由平面APQ寫(xiě)出其法向量.假設(shè)點(diǎn)E(m,n,0),根據(jù)平面APE寫(xiě)出其法向量.再由二面角E-AP-Q的余弦值為,可得到關(guān)于m,n的方程m+2n-6=0.再由點(diǎn)B到直線的距離公式即可得到結(jié)論.
（1）在正方形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052459186737.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以三棱柱的底面三角形的邊．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052458594446.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，所以．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052458562494.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，，所以，而，
所以平面．----------- 4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052459592374.png" style="vertical-align:middle;" />,,兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，

所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
則由，即令，
則．所以．
設(shè)點(diǎn)E(m,n,0),
.由得:m+2n-6=0
所以|BE|的最小值為點(diǎn)B到線段: m+2n-6="0" 的距離------- 13分