Question

一條曲線是用以下方法畫成：△ABC是邊長為1的正三角形，曲線CA₁、A₁A₂、A₂A₃分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫的弧，CA₁A₂A₃為曲線的第1圈，然后又以A為圓心，AA₃為半徑畫弧，這樣畫到第n圈，則所得曲線CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的總長度S_n為（　　）

• A．

  n(n+1)π

  3

• B．2π（3n-1）
• C．n（n+1）π
• D．n（3n+1）π

Answer 1

分析：由題知如果這樣畫到第n圈得到n條螺旋線，是由3n條弧長構成，這些弧長的圓心角都為

2π

3

，根據(jù)弧長公式得到這些弧長是

2π

3

為首項，

2π

3

為公差，項數(shù)為3n的等差數(shù)列，所以這些螺旋線的總長度即為等差數(shù)列的前3n的和，求出即可．

解答：解：根據(jù)弧長公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度分別為

2 3 π×π×1

π

，

2 3 π×π×2

π

，…，

2 3 π×π×3n

π

化簡得：

2π

3

，2×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此數(shù)列是

2π

3

為首項，

2π

3

為公差，項數(shù)為3n的等差數(shù)列，
則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=n（3n+1）π．
故選D．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和，解題的關鍵是歸納總結得到各弧長成等差數(shù)列，屬于中檔題．