Question

已知函數(shù)g（x）=xe^x+1．
（Ⅰ）證明：g（x）＞0；
（Ⅱ）證明：

ex

xex+1

≤1；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0，不等式

ex

xex+1

＞

1

ax2+1

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得g′（x）=（x+1）e^x，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能證明g（x）≥g（-1）=1-

1

e

＞0．
（Ⅱ）令f（x）=

ex

xex+1

，則f′(x)=

ex(1-ex)

(xex+1)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明

ex

xex+1

≤1．
（Ⅲ）由a=0，a＜0，a＞0三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵g（x）=xe^x+1，∴g′（x）=（x+1）e^x，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，g′（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增；
所以：g（x）≥g（-1）=1-

1

e

＞0．（3分）
（Ⅱ）證明：令f（x）=

ex

xex+1

，則f′(x)=

ex(1-ex)

(xex+1)2

，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）≤f（0）=1，∴

ex

xex+1

≤1．（6分）
（Ⅲ）解：（1）若a=0，則x＞0時(shí)，

ex

xex+1

≤1＞1=

1

ax2+1

，不等式不成立；（7分）
（2）若a＜0，ax²+10，就有

1

ax2+1

＞1，
由ax²+1＞0，解得0＜x＜

1

-a

，∴x∈（0，

1

-a

）時(shí)，

1

ax2+1

＞1，
而x＞0，不等式

ex

xex+1

≤1恒成立，∴不等式不成立．（9分）
（3）若a＞0，

ex

xex+1

＞

1

ax2+1

等價(jià)于（ax²-x+1）e^x-1＞0，①，（10分）
設(shè)h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，x＞0，則h′(x)=ax(x+

2a-1

a

)ex，
（i）若a≥

1

2

，x＞0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）＞h（0），①成立．
（ii）若0＜a＜

1

2

，則當(dāng)x∈（0，

1-2a

a

），h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
h（x）＜h（0）=0，①不恒成立．
∴a＞0時(shí)，不等式①成立，當(dāng)且僅當(dāng)a≥

1

2

．
綜上，a的取值范圍[

1

2

，+∞）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．