Question

已知f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函數(shù)
（Ⅰ）求k的值，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0，建立等式關(guān)系，求出k的值，然后根據(jù)真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域；
（II）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）與f（x₂）的大小，從而判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0，即loga

1-kx

x-1

•

1+kx

-x-1

=0
則1-k²x²=1-x²，即k=±1，（3分）
當(dāng)k=1時(shí)，

1-kx

x-1

=-1＜0，所以k=-1（14分）
定義域?yàn)椋簕x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，則f(x1)-f(x2)=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

（8分）
又（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＜0∴0＜

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜1，又a＞1，
∴loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜0（10分）
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義，以及函數(shù)的定義域和函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．