Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²（k≥0）．
（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，最后化簡(jiǎn)成一般式即可；
（II）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），討論k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四種情形，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

解答：解：（I）當(dāng)K=2時(shí)，f(x)=ln(1+x)-x+x2，f′(x)=

1

1+x

-1+2x
由于f(1)=ln(2)，f′(1)=

3

2

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
y-ln2=

3

2

(x-1)．即3x-2y+2ln2-3=0
（II）f'（x）=

x(kx+k-1)

1+x

，x∈(-1，+∞)
當(dāng)k=0時(shí)，f′(x)=-

x

1+x

因此在區(qū)間（-1，0）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f′(x)=

x(kx+k-1)

1+x

=0，得x1=0，x2=

1-k

k

 ＞0；
因此，在區(qū)間（-1，0）和(

1-k

k

，+∞)上，f'（x）＞0；在區(qū)間(0， 

1-k

k

 )上，f'（x）＜0；
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）和(

1-k

k

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1-k

k

）；
當(dāng)k=1時(shí)，f′(x)=

x2

1+x

．f（x）的遞增區(qū)間為（-1，+∞）
當(dāng)k＞1時(shí)，由f′(x)=

x(kx+k-1)

1+x

=0，得x1=0，x2=

1-k

k

∈(-1，0)；
因此，在區(qū)間(-1，

1-k

k

)和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區(qū)間(

1-k

k

，0)上，f'（x）＜0；
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，

1-k

k

)和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(

1-k

k

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．