已知函數(shù)f（x）=ln（1+x2）+ax．
（1）設(shè)f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：數(shù)學(xué)公式．

解：（1），
因?yàn)閤=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f'（0）=0，
∴a=0
此時(shí)，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（4分）
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/355372.png' />
①當(dāng)a=0時(shí)，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；…（5分）
②當(dāng)即當(dāng)a≤-1時(shí)，f'（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴，
∴f（x）在上單調(diào)遞增，
同理得，f（x）在和上單調(diào)遞減；…（9分）
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0?ln（1+x2）＜x…（10分）
從而有：
∴…（12分）
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f'（0）=0，從而可求a的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，再對a進(jìn)行討論，利用f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
f'（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x2）＜x，進(jìn)而可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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