Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}+a{x^2}，x＞0\\ \frac{1}{e^x}+a{x^2}，x＜0\end{array}$，若函數(shù)f（x）有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，-$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• C． （-∞，-$\frac{{e}^{3}}{9}$）
• D． （-∞，-$\frac{{e}^{4}}{16}$）

Answer 1

分析 由題意可知：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，只需e^x+ax=0有兩個(gè)正根，即-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有兩個(gè)正根，設(shè)g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，設(shè)g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求導(dǎo)g′（x）=-$\frac{{e}^{2}{x}^{2}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$=-$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的最大值，要使-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有兩個(gè)正跟，即使g（x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，-$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

解答 解：由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可知使函數(shù)f（x）有四個(gè)零點(diǎn)，
只需要e^x+ax²=0有兩個(gè)正根，
即-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有兩個(gè)正根，
設(shè)g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求導(dǎo)g′（x）=-$\frac{{e}^{2}{x}^{2}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$=-$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，
令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=2時(shí)取最大值，最大值g（2）=-$\frac{{e}^{2}}{4}$，
要使-$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$=a有兩個(gè)正根，即使g（x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，-$\frac{{e}^{2}}{4}$），
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．