Question

已知函數(shù)y=f（x）= （a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）＜．試求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴，∴bx+c=bx-c，∴c=0，…（2分）
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=≥，…（4分）
當且僅當x=時等號成立，于是=2，∴a=b²，…（6分）
由f（1）＜得＜，即＜，…（8分）
∴2b²-5b+2＜0，解得＜b＜2，…（10分）
又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+．…（12分）
分析：根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），從而可求c=0，f（x）=，利用基本不等式可求最小值，由f（1）＜得＜，即2b²-5b+2＜0，可求b=1，a=1，故可求函數(shù)的解析式．
點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．