Question

已知圓(x+2)2+y2=

25

4

的圓心為M，圓（x-2）²+y²=

1

4

的圓心為N，一動(dòng)圓與這兩圓都外切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)N的直線l與（1）中所求軌跡有兩交點(diǎn)A、B，求

AM

•

BM

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)圓相外切的充要條件列出兩個(gè)幾何條件，令兩個(gè)式子相減；再利用雙曲線的定義判斷出動(dòng)圓圓心P的軌跡是雙曲線，寫出雙曲線的方程．
（2）分直線的斜率存在于不存在，設(shè)出直線的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理列出關(guān)于k的不等式，求出k的范圍，利用向量的數(shù)量積公式將

AM

•

BM

用k表示，求出k的范圍．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，
則|PM|=r+

5

2

，|PN|=r+

1

2

，
相減得|PM|-|PN|=2
由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支，
其雙曲線方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則

y=k(x-2) 3x2-y2=3

?(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

△＞0 x1+x2＞0?k2＞3 x1x2＞0

，

AM

=(-2-x1，-y1)，

BM

=(-2-x2，-y2)，

AM

•

BM

=(-2-x1)(-2-x2)+y1y2=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=

7k2-9

k2-3

=7+

12

k2-3

＞7
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂=2?y₁=3，y₂=-3
所以，

AM

=(-4，-3)，

BM

=(-4，3)?

AM

•

BM

=7，
綜合得

AM

•

BM

≥7

點(diǎn)評(píng)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用的方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、消參法、交軌法等；解決直線與圓相交的問題常利用幾何法特別時(shí)，將直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解．