Question

已知函數(shù)f（x）=（log₄x-3）•log₄4x．
（1）當x∈[

1

4

，16]時，求該函數(shù)的值域；
（2）令g（x）=f（x）+log₄x²-2a•log₄x，求g（x）在x∈[4²，4⁴]上的最值．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)的表達式，通過換元法以及x∈[

1

4

，16]時，給出新元的范圍，轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求解該函數(shù)的值域；
（2）化簡g（x）=f（x）+log₄x²-2a•log₄x，通過換元法以及x∈[4²，4⁴]時，新元的范圍，轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求解該函數(shù)的最值；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=（log₄x-3）•log₄4x=（log₄x）²-2log₄x-3，
令t=log₄x，x∈[

1

4

，16]⇒t∈[-1，2]，
此時有y=t²-2t-3，對稱軸t=1∈[-1，2]，
當t=1時，取得最小值：-4；t=-1函數(shù)取得最大值：0．
∴y∈[-4，0]．…（4分）
（2）g（x）=f（x）+log₄x²-2a•log₄x
=（log₄x）²-2alog₄x-3，令t=log₄x，x∈[4²，4⁴]，則t∈[2，4]，
此時有y=t²-2at-3，
①當a≤2時，y_min=

y|

t=2

=1-4a；y_max=y|_t=4=13-8a；
②當2＜a≤3時，y_min=

y|

t=a

=-a²-3；y_max=y|_t=4=13-8a；
③當3＜a＜4時，y_min=

y|

t=a

=-a²-3；y_max=y|_t=2=1-4a；
④當a≥4時，y_min=

y|

t=4

=13-8a；y_max=y|_t=2=1-4a；…（12分）

點評：本題考查二次函數(shù)的最值，換元法的應用，考查計算能力．