Question

已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓Q：

x2

4

+

y2

3

=1的中心O，焦點(diǎn)與橢圓Q的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線D上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|（Ⅰ）求拋物線D的方程及y₁y₂的值；
（Ⅱ）求線段AB中點(diǎn)軌跡E的方程；
（Ⅲ）求直線y=

1

2

x與曲線E的最近距離．

Answer 1

（I）由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px
由a²-b²=4-3=1?c=1．
∴拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），∴p=2
∴拋物線方程為y²=4x（2分）
∵點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
所以：y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴（y₁y₂）²=16x₁x₂．
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴

(y1y2)2

16

+y1y2=0?y1y2(

y1y2

16

+1)=0
∵y₁y₂≠0
∴y₁y₂=-16．
（Ⅱ）∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|∴

OA

⊥

OB

，
設(shè)OA：y=kx，OB：y=-

1

k

x
由

y=kx y2=4x

?A（

4

k2

，

4

k

）．同理可得B（4k²，-4k）
設(shè)AB的中點(diǎn)為（x，y），則由

x= 2 k2 +2k 2 y= 2 k -2k

消去k，得y²=2x-8．（10分）
（Ⅲ）設(shè)與直線y=

1

2

x平行的直線x-2y+m=0．
由題設(shè)可知直線x-2y+m=0應(yīng)與曲線E：y²=2x-8相切
由

y2=2x-8 x-2y+m=0

消去x整理得：y²-4y+2m+8=0．
所以△=16-4（2m+8）=0?m=-2
∴直線y=

1

2

x 與x-2y-2=0之間的距離即為直線y=

1

2

x與曲線E的最近距離．
所以所求距離為：d=

|0-(-2)|

12+(-2)2

=

2 5

5