如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程,并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
(3)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

【答案】分析:(1)根據(jù)橢圓中基本量a、b、c的平方關(guān)系結(jié)合題中數(shù)據(jù),求出橢圓C1的特征的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,C1橢圓C2的特征的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,不難得出兩個(gè)橢圓是相似比為2的兩個(gè)橢圓;
(2)類比相似三角形的性質(zhì)和中心在原點(diǎn)的橢圓的幾何特征,可得到①橢圓的面積比的性質(zhì);②橢圓中的相似四邊形;③兩個(gè)橢圓公共的割線得到弦的中點(diǎn)重合等幾個(gè)特征;
(3)先假設(shè)存在滿足條件的兩點(diǎn)M、N,得到由直線l與已知橢圓聯(lián)列,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合垂直平分的條件,可求得MN中點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合這個(gè)中點(diǎn)在直線y=x+1上,得到存在直線y=-x-,找到符合題的M、N.最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長公式:,可得出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.
解答:解:(1)橢圓C2與C1相似.
因?yàn)镃2的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,
而橢圓C1的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,
因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為2:1.
根據(jù)題中兩個(gè)橢圓相似的定義可得:橢圓C2與C1相似.-------(4分)
(2)∵橢圓Cb與橢圓C1相似
∴橢圓Cb的長軸是短軸的2倍
∵橢圓Cb的半短軸長為b
∴橢圓Cb的方程為:.------------------------(7分)
由(1)可得兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有:
①兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方;
②分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;
③兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合,過原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.----(10分)
(3)假定存在滿足條件的兩點(diǎn)M、N,則設(shè)M、N所在直線為y=-x+t,MN中點(diǎn)為(x,y).
⇒5x2-8tx+4(t2-b2)=0.-------------------(12分)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),可得

結(jié)合中點(diǎn)在直線y=x+1上,所以有.-------------(16分)

∴所求函數(shù)的解析式為:
.-------------(18分)
點(diǎn)評:本題以橢圓為例,考查了圓錐曲線的基本性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系和解析幾何與函數(shù)之間的聯(lián)系等知識點(diǎn),屬于中檔題.解題過程中用到了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想,避免了繁的化簡計(jì)算,請同學(xué)們加以注意.若不用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來解決,則容易因計(jì)算太繁而至錯(cuò).
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(本小題滿分13分)

如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為、,離心率為,過點(diǎn)的直線交橢圓兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)①求直線的斜率的取值范圍;

②在直線的斜率不斷變化過程中,探究是否總相等?若相等,請給出證明,若不相等,說明理由.

 

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如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、,我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.

(1)已知橢圓,判斷是否相似,如果相似則求出的相似比,若不相似請說明理由;

(2)若與橢圓相似且半短軸長為的橢圓為,且直線與橢圓為相交于兩點(diǎn)(異于端點(diǎn)),試問:當(dāng)面積最大時(shí), 是否與有關(guān)?并證明你的結(jié)論.

(3)根據(jù)與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程,提出你認(rèn)為有價(jià)值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);

 

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如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為、,點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),過的外角平分線的垂線,垂足為點(diǎn),過點(diǎn)軸的垂線,垂足為,線段的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的軌跡方程為________________

 

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如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),過F2的外角平分線的垂線,垂足為點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作軸的垂線,垂足為N,線段QN的中點(diǎn)為M,則點(diǎn)M的軌跡方程為     

 

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