Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）虛軸上的端點B（0，b），右焦點F，若以B為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點P，且$\overrightarrow{BP}$$∥\overrightarrow{PF}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由題意BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，求出a，c的關系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：由題意BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，
∵k_BF=-$\frac{c}$，
∴-$\frac{c}•\frac{a}$=-1，
∴b²-ac=0，
∴c²-a²-ac=0，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x是關鍵．