Question

【題目】如圖所示，直平行六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，，過(guò)體對(duì)角線的截面S與棱和分別交于點(diǎn)E、F，給出下列命題中：

①四邊形的面積最小值為；

②直線EF與平面所成角的最大值為；

③四棱錐的體積為定值；

④點(diǎn)到截面S的距離的最小值為.

其中，所有真命題的序號(hào)為（ ）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①分析可得當(dāng)為為棱的中點(diǎn)時(shí),四邊形的面積最小,求解即可；

②過(guò)點(diǎn)的平面的垂線交平面于點(diǎn),轉(zhuǎn)化直線EF與平面所成角最大為直線與直線的夾角最小,進(jìn)而求解即可；

③轉(zhuǎn)化四棱錐的體積為以平面和平面為底的三棱錐的體積的和,進(jìn)而求證即可；

④分析可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)四邊形的面積最大,此時(shí)點(diǎn)到截面S的距離的最小,進(jìn)而求解即可

由題,因?yàn)檫^(guò)體對(duì)角線,則由對(duì)稱(chēng)性易得四邊形是平行四邊形,

連接,,且交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,

則若四邊形面積最小,即最小,

即為棱到平面的距離,即為長(zhǎng),

因?yàn)?/span>,則,

所以,

則,

又,

所以,此時(shí)為棱的中點(diǎn),故①正確；

過(guò)點(diǎn)的平面的垂線交平面于點(diǎn),則即為點(diǎn)到平面的距離,根據(jù)底面菱形的性質(zhì),可得,

若直線EF與平面所成角最大,則直線與直線的夾角最小,即最小,此時(shí)最大,即最小,

即時(shí),故,則,

則直線EF與平面所成角最大為,故②錯(cuò)誤；

設(shè)點(diǎn)到平面,平面的距離分別為,即從點(diǎn)分別向作垂線即可,由菱形可得,

,

為定值,故③正確；

因?yàn)樗睦忮F的體積為定值,

所以若點(diǎn)到截面S的距離的最小,則截面的面積最大,即四邊形面積最大,即最大,則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合條件,此時(shí)在中,,,則,則,

所以,此時(shí),

設(shè)點(diǎn)到截面S的距離為,則,所以,故④正確

綜上,①③④正確,

故選：B