Question

某城市計(jì)劃在如圖所示的空地ABCD上豎一塊長(zhǎng)方形液晶廣告屏幕MNEF，宣傳該城市未來(lái)十年計(jì)劃、目標(biāo)等相關(guān)政策．已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為30m的正方形，電源在點(diǎn)P處，點(diǎn)P到邊AD、AB的距離分別為9m，3m，且MN～NE=16～9，線(xiàn)段MN必過(guò)點(diǎn)P，端點(diǎn)M、N分別在邊AD、AB上，設(shè)AN=xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm²．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）若液晶屏每平米造價(jià)為1500元，當(dāng)x為何值時(shí)，液晶廣告屏幕MNEF的造價(jià)最低？

Answer 1

分析：（1）先確定AM、MN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）要使液晶廣告屏幕MNEF的造價(jià)最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，在△AMN中，

9

x

=

MP

MN

，

3

AM

=

NP

MN

∴

9

x

+

3

AM

=1，∴AM=

3x

x-9

∴MN=

AM2+AN2

=

x2+ 9x2 (x-9)2

∵0≤AM≤30，0≤x≤30，，10≤x≤30
∴S=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]，其定義域?yàn)閇10，30]；
（2）由題意，要使液晶廣告屏幕MNEF的造價(jià)最低，即使液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小
設(shè)f(x)=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]（x∈[10，30]），則f′(x)=

9

16

×

2x[(x-9)3-81]

(x-9)3

令f′（x）=0，的x=9+3

3	3

因?yàn)?span id="z5yp5wo" class="MathJye">10≤x＜9+3

3	3

時(shí)，f'（x）＜0；9+3

3	3

＜x≤30時(shí)，f'（x）＞0，
所以x=9+3

3	3

時(shí)，S取得最小值，即液晶廣告屏幕MNEF的造價(jià)最低．
故當(dāng)x=9+3

3	3

時(shí)，液晶廣告屏幕的造價(jià)最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形面積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．