Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=2^x，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（1）若f（x）=4g（x）+3，求x的值；
（2）若存在x∈[0，4]，使不等式f（a+x）-g（-2x）≥3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意知2^x=4•2^-x+3，整理得：2^2x-3•2^x-4=0，解之即可求得x的值；
（2）由f（a+x）-g（-2x）≥3得2^a+x-2^2x≥3，移項(xiàng)可得2^a+x≥2^2x+3⇒2^a≥2^x+3•2^-x，利用基本不等式可得2^x+3•2^-x≥2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=3•2^-x，即x=log₄3時(shí)取等號(hào)，繼而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=4g（x）+3得2^x=4•2^-x+3．…2分
整理得：2^2x-3•2^x-4=0，
所以2^x=4或2^x=-1（舍）．…4分
所以x=2．…6分
（2）由f（a+x）-g（-2x）≥3得2^a+x-2^2x≥3…8分
即2^a+x≥2^2x+3⇒2^a≥2^x+3•2^-x…10分
而2^x+3•2^-x≥2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=3•2^-x，即x=log₄3∈[0，4]時(shí)取等號(hào)，…12分
所以2^a≥2$\sqrt{3}$，所以a≥1+$\frac{1}{2}$log₂3．…14分

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)與方程思想，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．