Question

設數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n=

1

3

（a_n-1+2a_n-2）（n=3，4，…）．數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1≤b_m+b_m+1+…+b_m+k≤1．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=na_nb_n（n=1，2，…），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an=

1

3

(an-1-an-2)得an-an-1=-

2

3

(an-1-an-2)（n≥3），所以an+1-an=(-

2

3

)n-1，再用累加法求出a_n，再由n的奇偶性進行討論知b_n．
（2）cn=nanbn=

8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1 - 8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1

，再由n的奇偶性分別計算數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）由an=

1

3

(an-1-an-2)得an-an-1=-

2

3

(an-1-an-2)（n≥3）
又a₂-a₁=1≠0，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為1公比為-

2

3

的等比數(shù)列，an+1-an=(-

2

3

)n-1
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+(-

2

3

)+(-

2

3

)2+…+(-

2

3

)n-2
=1+

1-(- 2 3 )n-1

1+ 2 3

=

8

5

-

3

5

(-

2

3

)n-1，
當n為奇數(shù)時當n為偶數(shù)時
由

-1≤b1+b2≤1 -1≤b2≤1 b2∈Z，b2≠0

得b₂=-1，
由

-1≤b2+b3≤1 -1≤b3≤1 b3∈Z，b3≠0

得b₃=1，
同理可得當n為偶數(shù)時，b_n=-1；當n為奇數(shù)時，b_n=1；
因此bn=

1，n為奇數(shù) -1，n為偶數(shù)

．
（2）cn=nanbn=

8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1 - 8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1

S_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n
當n為奇數(shù)時，Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+…+

8

5

n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]=

4(n+1)

5

-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]
當n為偶數(shù)時
Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+-

8

5

n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]=-

4n

5

-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]
令Tn=1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1①
①×

2

3

得：

2

3

Tn=1×(

2

3

)1+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+4×(

2

3

)4+…+n(

2

3

)n②
①-②得：

1

3

Tn=1+(

2

3

)1+(

2

3

)2+(

2

3

)3+(

2

3

)4+…+(

2

3

)n-1-n(

2

3

)n=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

-n(

2

3

)n=3-(3+n)(

2

3

)n
∴Tn=9-(9+3n)(

2

3

)n
當n為奇數(shù)時當n為偶數(shù)時
因此Sn=

4n-23 5 + 9(n+3) 5 ( 2 3 )n - 4n+27 5 + 9(n+3) 5 ( 2 3 )n

點評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應用，解題時要注意公式的靈活運用，尤其是在求值時要重視對n的奇偶性的討論．