Question

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點．
（1）求證：D₁F⊥平面AED；
（2）求平面AED與平面A₁ED₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明D₁F⊥AE，AD⊥D₁F，即可證明D₁F⊥平面ADE；
（2）建立直角坐標(biāo)系，求出平面A₁ED₁的法向量、平面AED的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求出平面AED與平面A₁ED₁所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：取AB中點G，連接A₁G，F(xiàn)G．
因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F．
因為△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
因為AC₁是正方體，
所以AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
所以AD⊥D₁F．
因為AD∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE；
（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），E（1，1，

1

2

），F(xiàn)（0，

1

2

，0），
則

D1E

=（1，1，-

1

2

），

D1A1

=（1，0，0），
設(shè)平面A₁ED₁的法向量為

n

=（x，y，z），則

x+y- 1 2 z=0 x=0

，令z=2，則

n

=（0，1，2），
由（1）知，平面AED的一個法向量為

D1F

=（0，

1

2

，-1），
所以平面AED與平面A₁ED₁所成銳二面角的余弦值為|

1 2 -2

5 • 1 4 +1

|=

3

5

．

點評：本題考查線面垂直，考查平面AED與平面A₁ED₁所成銳二面角的余弦值，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．