Question

如圖，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分別為，的中點，為底面的重心.

（1）求證：平面平面；
（2）求證： ∥平面；
（3）求多面體的體積.

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

試題分析：（1）利用矩形所在的平面和平面互相垂直，且
得到平面，；
應用余弦定理知，得到；
由⊥平面，得到平面平面；
（2）平行關系的證明問題問題，要注意三角形中位線定理的應用，注意平行關系的傳遞性，以及線線關系、線面關系、面面關系的相互轉化；                          8分
（3）將多面體的體積分成三棱錐與
四棱錐的體積之和，分別加以計算.
試題解析：（1）矩形所在的平面和平面互相垂直，且
∴平面，
又平面，所以                      1分
又，，，由余弦定理知，
∴得                                  2分
∴⊥平面，                                 3分
平面；∴平面平面；                     4分
（2）連結延長交于，則為的中點，又為的中點，
∴∥，又∵平面，∴∥平面         5分
連結，則∥，平面，∥平面        6分
∴平面∥平面，                           7分
平面
                                                8分
（3）多面體的體積可分成三棱錐與
四棱錐的體積之和                                     9分
在等腰梯形中，計算得，兩底間的距離
所以                  10分
                   11分
所以                                 12分