Question

7．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為18，則2a+b的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 4$\sqrt{7}$
• D． 4$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 作可行域，平移目標(biāo)直線可得直線過點(diǎn)B（1，4）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值，可得ab=16，由基本不等式可得．

解答 解：作出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，所對(duì)應(yīng)的可行域，（如圖陰影）
變形目標(biāo)函數(shù)可得y=abx-z，其中a＞0，b＞0，
經(jīng)平移直線y=abx可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）或B（1，4）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)取最大值，顯然A不合題意，
∴ab+4=18，即ab=14，
由基本不等式可得2a+b≥2$\sqrt{2ab}$=4$\sqrt{7}$，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=2$\sqrt{7}$時(shí)取等號(hào)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃，涉及基本不等式的應(yīng)用和分類討論的思想，屬中檔題．