定義f（x）＜g（x）＜h（x）對任意x∈D恒成立，稱g（x）在區(qū)間D上被f（x），h（x）所夾，若y=1nx在（0，+∞）被y=-
a
x
和y=（1-a）x所夾，則實數(shù)a的取值范圍 （　　）
分析：根據(jù)題意，將y=1nx在（0，+∞）被y=-
a
x
和y=（1-a）x所夾，轉(zhuǎn)化為-
a
x
＜1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：根據(jù)定義f（x）＜g（x）＜h（x）對任意x∈D恒成立，稱g（x）在區(qū)間D上被f（x），h（x）所夾，
又∵y=1nx在（0，+∞）被y=-
a
x
和y=（1-a）x所夾，
∴-
a
x
＜1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，
∴-
a
x
＜1nx在（0，+∞）上恒成立，①且1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，②，
對于①，-
a
x
＜1nx在（0，+∞）上恒成立可以轉(zhuǎn)化為-a＜xlnx在（0，+∞）上恒成立，即-a＜（xlnx）min，
令y=xlnx，則y′=lnx+1=0，解得x=
1
e
，
∵y=xlnx在（0，
1
e
）上單調(diào)遞減，在（
1
e
，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y=xlnx在x=
1
e
處取得最小值為-
1
e
，即（xlnx）min=-
1
e
，
∴-a＜-
1
e
，即a＞
1
e
；
對于②，1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立可以轉(zhuǎn)化為1-a＞
lnx
x
在（0，+∞）上恒成立，
即1-a＞（
lnx
x
）max，
令y=
lnx
x
，則y′=
1-lnx
x2
=0，解得x=e，
∵y=
lnx
x
在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y=
lnx
x
在x=e處取得最大值為
1
e
，即（
lnx
x
）max=
1
e
，
∴1-a＞
1
e
，即a＜
e-1
e
．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為(
1
e
，
e-1
e
)．
故選C．
點評：本題考查了函數(shù)的恒成立問題，對于恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解，本題選用了參變量分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值應(yīng)用了導(dǎo)數(shù)求最值的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：兩個連續(xù)函數(shù)（圖象不間斷）f（x）、g（x）在區(qū)間[a，b]上都有意義，則稱函數(shù)|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上的“絕對和”．已知函數(shù)f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
（Ⅰ）若函數(shù)y=g（x）在點P（1，g（1））處的切線與直線y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求漢順f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對值”
（Ⅲ）記f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對和”為h(a)，a＞
32
，且h（a）=2，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱“不友好”的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=loga（x-3a）與g(x)=loga
1x-a
（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

對于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱“不友好”的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=loga（x-3a）與數(shù)學(xué)公式（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

對于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱“不友好”的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=loga（x-3a）與g(x)=loga
1
x-a
（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江西省宜春市上高二中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

對于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱“不友好”的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=loga（x-3a）與（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

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