Question

設(shè)銳角△ABC中，2sin²A-cos2A=2．
（1）求∠A的大��；
（2）求（cosB+sinB）²+sin2C的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式的左邊第一項(xiàng)，得到關(guān)于cos2A的方程，求出方程的解得到cos2A的值，由A為銳角得到2A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由A的度數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和定理得到B與C的關(guān)系，用B表示出C，代入所求的式子中，利用三角函數(shù)的恒等變形化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由三角形為銳角三角形及A的度數(shù)，得到B的具體范圍，進(jìn)而得到這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可得到所求式子的取值范圍．
解答：解：（1）由2sin²A-cos2A=2得：，
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以2A∈（0，π），
所以，所以；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124913319313887/SYS201310251249133193138013_DA/3.png">，
所以（cosB+sinB）²+sin2C

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，，所以
所以，
所以（cosB-sinB）²+sin2C的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的值域，以及三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)還有兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．