Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-[x]）•|x-1|，0≤x＜2}\\{1，x=2}\end{array}\right.$，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如，[-3•5]=-4，[1•2]=1，設(shè)n∈N^*，定義函數(shù)f_n（x）為：f₁（x）=f（x），且f_n（x）=f[f_n-1（x）]（n≥2），有以下說法：
①函數(shù)y=$\sqrt{x-f（x）}$的定義域?yàn)閧x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}；
②設(shè)集合A={0，1，2}，B={x|f₃（x）=x，x∈A}，則A=B；
③f₂₀₁₅（$\frac{8}{9}$）+f₂₀₁₆（$\frac{8}{9}$）=$\frac{13}{9}$；
④若集合M={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，則M中至少包含有8個(gè)元素．
其中說法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 對于①，先根據(jù)定義域選擇解析式來構(gòu)造不等式，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由2（1-x）≤x求解；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，由x-1≤x求解，取后兩個(gè)結(jié)果取并集；
對于②，先求得f（0），f（1），f（2），再分別求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再觀察與自變量是否相等即可；
對于③，看問題有2015，2016求值，一定用到周期性，所以先求出幾個(gè)，觀察是以4為周期，求解即可；
對于④，結(jié)合①②③可得$\frac{2}{3}$、0、1、2、$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=2（1-x）；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=x-1．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（1-x），0≤x＜1}\\{x-1，1≤x≤2}\end{array}\right.$，
畫出y=f（x）在[0，2]的圖象．
對于①，可得f（x）≤x，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，x-1≤x成立；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，2（1-x）≤x，解得$\frac{2}{3}$≤x＜1，即有定義域?yàn)閧x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}，故①正確；
對于②，當(dāng)x=0時(shí)，f₃（0）=f[f₂（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；
當(dāng)x=1時(shí)，f₃（1）=f[f₂（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；
當(dāng)x=2時(shí)，f₃（2）=f[f₂（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；
即有A=B，故②正確；
對于③，f₁（$\frac{8}{9}$）=2（1-$\frac{8}{9}$）=$\frac{2}{9}$，f₂（$\frac{8}{9}$）=f（f（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{2}{9}$）=2（1-$\frac{2}{9}$）=$\frac{14}{9}$，
f₃（$\frac{8}{9}$）=f（f₂（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{14}{9}$）=$\frac{14}{9}$-1=$\frac{5}{9}$，f₄（$\frac{8}{9}$）=f（f3（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{5}{9}$）=2（1-$\frac{5}{9}$）=$\frac{8}{9}$，
一般地，f_4k+r（$\frac{8}{9}$）=f_r（$\frac{8}{9}$）（k，r∈N）．
即有f₂₀₁₅（$\frac{8}{9}$）+f₂₀₁₆（$\frac{8}{9}$）=f₃（$\frac{8}{9}$）+f₄（$\frac{8}{9}$）=$\frac{5}{9}$+$\frac{8}{9}$=$\frac{13}{9}$，故③正確；
對于④，由（1）知，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，∴f_n（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，則f₁₂（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{2}{3}$∈M．
由（2）知，對x=0、1、2，恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=x，則0、1、2∈M．
由（3）知，對x=$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$，恒有f₁₂（x）=x，∴$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M．
綜上所述$\frac{2}{3}$、0、1、2、$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M．
∴M中至少含有8個(gè)元素．故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)及分段不等式的解法，元素與集合關(guān)系的判定，函數(shù)的周期性，函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)問題要注意分類討論，還考查了分段函數(shù)多重求值，要注意從內(nèi)到外，根據(jù)自變量取值選擇好解析式．