已知雙曲線，點在曲線上，曲線的離心率為，點、為曲線上易于點A的任意兩點,為坐標(biāo)原點。

（1）求曲線上方程；

（2）若為曲線的焦點，求最大值；

（3）若以為直徑的圓過點，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)。

 

 

【答案】

（1）方程為

（2）由雙曲線的對稱性知，不妨設(shè)P在左支上，設(shè)，由焦半徑得：

  ，所以

所以，當(dāng)時取等號。

的最大值是。

（3）設(shè)，聯(lián)立直線PQ和雙曲線方程得：

，所以得。

且，由題知，

所以，

，

代入的，

解得或（舍去），所以PQ方程為，

即得PQ過定點

（說明：另解一，可以利用對稱和當(dāng)PQ垂直情況猜過軸上點，然后證明；

另解二，設(shè)AP斜率，求出P，Q坐標(biāo)，然后利用兩點式寫出方程判斷過定點，）

 

 

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點”
（1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點不是“C1-C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（上海卷解析版） 題型：填空題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點“

（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點不是“C1﹣C2型點”；

（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點“
（1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點不是“C1-C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點“
（1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點不是“C1-C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”

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