Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)x∈（n，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值；
（3）令函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x均成立，代入可求m
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），需要考慮（n，a-2）與定義域的關(guān)系，故分類討論①當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，0＜a＜1，②當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，a＞3，分別求解函數(shù)的值域即可
（3）由題意可得g（x）=-ax²+8x+3，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立，則有

-ax2+8x+3≥-5 -ax2+8x+3≤5

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]恒成立，即

a≤ 8(x+1) x2 a≥ 8x-2 x2

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)
得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x均成立．（2分）
∴loga

mx+1

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0．
即     

mx+1

-x-1

•

1-mx

x-1

=1
即m²x²-1=x²-1對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x均成立．
∴m²=1即m=1（舍去）或m=-1．
∴m=-1．（6分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），（7分）
∴①當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，0＜a＜1，
∴f（x）在區(qū)間（n，a-2）上為增函數(shù)，
要使值域?yàn)椋?，+∞），則

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

（無(wú)解）；
②當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，a＞3，
∴f（x）在區(qū)間（n，a-2）上為減函數(shù)，
要使f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），則

n=1 loga a-1 a-3 =1

，
∴a=2+

3

，n=1．（12分）
（3）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8x+3，（13分）
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立，
則有 

-ax2+8x+3≥-5 -ax2+8x+3≤5

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]恒成立，
即   

a≤ 8(x+1) x2 a≥ 8x-2 x2

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]恒成立，
令

1

x

=t，則有

a≤8(t2+t) a≥8t-2t2

對(duì)任意的實(shí)數(shù)t∈[

1

2

，1)恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)8（t²+t）在t∈[

1

2

，1)上遞增，所以函數(shù)8（t²+t）的最小值為6，
所以 a≤6；
因?yàn)楹瘮?shù)8t-2t²在t∈[

1

2

，1)上遞增，所以函數(shù)8t-2t²＜6，
所以a≥6．
綜上，a=6
所以，存在a=6使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應(yīng)用，函數(shù)的值域的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，解決本題（3）的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”，先將轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再以t=

1

x

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，最終得以解決