Question

兩個函數(shù)y=x-1與y=lnx的圖象共有公共點

1

個．

Answer 1

分析：兩個函數(shù)圖象公共點的問題，可以轉(zhuǎn)化為方程x-1-lnx=0的解的個數(shù)問題，進而研究函數(shù)y=x-1-lnx的單調(diào)性和值域問題，利用導數(shù)研究它的單調(diào)性，不難得出最小值為0，因此可得答案．

解答：解：求兩個函數(shù)y=x-1與y=lnx的圖象共有公共點，
即為求方程x-1-lnx=0的解的個數(shù)
記函數(shù)G（x）=x-1-lnx  （x＞0）
可得G′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

當x∈（0，1）時，G′（x）＜0，函數(shù)G（x）為減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，G′（x）＞0，函數(shù)G（x）為增函數(shù)
所以函數(shù)G（x）的最小值為G（1）=0
因此方程x-1-lnx=0的解的個數(shù)為零．
即兩個函數(shù)的圖象只有一個公共點．
所以答案為：1

點評：本題考查了函數(shù)圖象的有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．將函數(shù)圖象的公共點問題轉(zhuǎn)化為方程問題，再用導數(shù)研究新的函數(shù)的零點，是解決本題的關(guān)鍵．