Question

記動點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上一點(diǎn)，記．當(dāng)∠APC為鈍角時(shí)，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由題意易知∠APC不可能為平角，則∠APC為鈍角等價(jià)于，即，再將用關(guān)于λ的字母表示，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可
解答：解：由題設(shè)可知，以、、為單位正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由，得，所以
顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價(jià)于，則等價(jià)于
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得
因此，λ的取值范圍是
點(diǎn)評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．