Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=

2x

1+|x|

（x∈R）有如下結(jié)論：
①f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?2，2）；
③f（x）在R上單調(diào)遞增；
④函數(shù)|f（x+1）|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
其中正確結(jié)論的序號(hào)有______．

Answer 1

①因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(-x)=

-2x

1+|-x|

=-

2x

1+|x|

=-f(x)，所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以①錯(cuò)誤．
②當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

2x

1+x

=

2(1+x)-2

1+x

=2-

2

1+x

，此時(shí)0＜f（x）＜2．
當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=

2x

1-x

=

2(x-1)+2

1-x

=-2+

2

1-x

=-2-

2

x-1

，此時(shí)-2＜f（x）＜0．
綜上-2＜f（x）＜2，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?2，2），所以②正確．
③當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

2x

1+x

=

2(1+x)-2

1+x

=2-

2

1+x

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由①知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增，所以③正確．
④因?yàn)?span mathtag="math" >|f(x)|=

2|x|

1+|x|

為偶函數(shù)，所以|f（x）|關(guān)于y軸對(duì)稱，將|f（x）|向左平移1個(gè)單位得到|f（x+1）|，
所以函數(shù)|f（x+1）|的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．