Question

9．直線l₁：y=2x與直線l₂：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，當a，b，c成等差數(shù)列時，直線l₁，l₂與y軸圍成的三角形的面積S=$\frac{9}{20}$．

Answer 1

分析 直線l₁：y=2x與直線l₂：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，可得2×（-$\frac{a}$）=-1，化為b=2a．當a，b，c成等差數(shù)列時，2b=a+c．由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{ax+by+c=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{-c}{a+2b}$．即可直線l₁，l₂與y軸圍成的三角形的面積S．

解答 解：直線l₁：y=2x與直線l₂：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（-$\frac{a}$）=-1，化為b=2a．
當a，b，c成等差數(shù)列時，2b=a+c．
∴b=2a，c=3a．
由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=-$\frac{c}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{ax+by+c=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{-c}{a+2b}$．
直線l₁，l₂與y軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}×|\frac{-c}{a+2b}|$×$|\frac{-c}|$=$\frac{1}{2}×|\frac{9{a}^{2}}{5a×2a}|$=$\frac{9}{20}$．
故答案為：$\frac{9}{20}$．

點評 本題考查了直線垂直與斜率之間的關系、等差數(shù)列的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．