Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線l的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，代入橢圓方程，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由根的判別式求出m²=2k²+1，由此能求出存在兩個(gè)定點(diǎn)M₁（1，0），M₂（-1，0），使它們到直線l的距離之積等于1．

解答 （本題滿分13分）
解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a²=2c²，a²=2b²，又過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，…（2分）
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1⇒\frac{1}{{2{b^2}}}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1⇒{b^2}=1$
∴a²=2，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．…（5分）
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，
代入橢圓方程，消去y，
整理得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，（*）
方程（*）有且只有一個(gè)實(shí)根，又2k²+1＞0，
所以△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，整理，得m²=2k²+1，…（8分）
假設(shè)存在M₁（λ₁，0），M₂（λ₂，0）滿足題設(shè)，
則由d₁•d₂=$\frac{|（{λ}_{1}k+m）（{λ}_{2}k+m）|}{{k}^{2}+1}$=$\frac{|{λ}_{1}{λ}_{2}{k}^{2}+（{λ}_{1}+{λ}_{2}）km+2{k}^{2}+1|}{{k}^{2}+1}$
=$\frac{|（{λ}_{1}{λ}_{2}+2）{k}^{2}+（{λ}_{1}+{λ}_{2}）km+1|}{{k}^{2}+1}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)k恒成立，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}{λ}_{2}+2=1}\\{{λ}_{1}+{λ}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=1}\\{{λ}_{2}=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=-1}\\{{λ}_{2}=1}\end{array}\right.$，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
綜上，存在兩個(gè)定點(diǎn)M₁（1，0），M₂（-1，0），使它們到直線l的距離之積等于1．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別別式，韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．