方程
1x-1
=2sin(πx)
在區(qū)間[-2010,2012]所有根之和等于
4 020
4 020
分析:設(shè) f(x)=
1
x-1
,g(x)=2sinπx,此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標的和的問題.從x=2開始,在每個周期上,f(x) 和 g(x)都有兩個交點,在區(qū)間[2,2012]上,函數(shù)g(x) 共有1015個周期,因此和函數(shù)f(x)有2010個交點,因此在區(qū)間[-2010,0]上也有2010個交點.m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標,則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標,因為一共有2010對這樣的交點,故所有根之和等于2×2010=4020.
解答:解:設(shè) f(x)=
1
x-1
,g(x)=2sinπx,此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標的和的問題.
顯然,以上兩個函數(shù)都關(guān)于點(1,0)成中心對稱.
函數(shù)f(x)的值域為(-∞,0)∪(0,+∞),定義域為{x|x≠1},
函數(shù)g(x) 的值域為[-2,2],定義域為R,最小正周期為2.
在區(qū)間[0,2]上,兩個函數(shù)無交點,應(yīng)用介值定理,可以得到第一個交點x0∈[2,
9
4
].
從x=2開始,在每個周期上,f(x) 和 g(x)都有兩個交點,相對應(yīng)的,在區(qū)間[-2010,0]上,
兩個函數(shù)有和區(qū)間[2,2012]上相同多的交點.
在區(qū)間[2,2012]上,函數(shù)g(x) 共有1005個周期,因此和函數(shù)f(x)有2010個交點,
因此在區(qū)間[-2010,0]上也有2010個交點,
且對每一個交點,相對于(1,0)中心對稱的點也是兩個函數(shù)的交點.
而每對這樣的交點之和為2,即若m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標,則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標,
因為一共有2010對這樣的交點.
所以,在區(qū)間[-2010,2012]上,兩個函數(shù)所有交點的橫坐標的和為2010×2=4020.
點評:本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷,以及函數(shù)與方程的思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)(矩陣與變換)已知二階矩陣M=
0-1
23

(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣;
(Ⅱ)設(shè)向量
α
=
-1
3
,求M100
α

(2)(坐標系與參數(shù)方程)
已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=-1+2sinθ
(θ是參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為θ=
π
4
(ρ∈R).
(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的平面直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點,求弦長|AB|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)方程
1
x+1
=|lgx|的兩個根為x1、x2,則( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•石景山區(qū)一模)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,其準線與x軸的交點為Q,過點F作直線l交拋物線于A、B兩點,若∠AQB=90°,則直線l的方程為
x=1
x=1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

方程
1
x-1
=2sin(πx)
在區(qū)間[-2010,2012]所有根之和等于______.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案