解答:解:設(shè) f(x)=
,g(x)=2sinπx,此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標的和的問題.
顯然,以上兩個函數(shù)都關(guān)于點(1,0)成中心對稱.
函數(shù)f(x)的值域為(-∞,0)∪(0,+∞),定義域為{x|x≠1},
函數(shù)g(x) 的值域為[-2,2],定義域為R,最小正周期為2.
在區(qū)間[0,2]上,兩個函數(shù)無交點,應(yīng)用介值定理,可以得到第一個交點x
0∈[2,
].
從x=2開始,在每個周期上,f(x) 和 g(x)都有兩個交點,相對應(yīng)的,在區(qū)間[-2010,0]上,
兩個函數(shù)有和區(qū)間[2,2012]上相同多的交點.
在區(qū)間[2,2012]上,函數(shù)g(x) 共有1005個周期,因此和函數(shù)f(x)有2010個交點,
因此在區(qū)間[-2010,0]上也有2010個交點,
且對每一個交點,相對于(1,0)中心對稱的點也是兩個函數(shù)的交點.
而每對這樣的交點之和為2,即若m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標,則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標,
因為一共有2010對這樣的交點.
所以,在區(qū)間[-2010,2012]上,兩個函數(shù)所有交點的橫坐標的和為2010×2=4020.