已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b滿足|ka+b|=
3
|a-kb|（k＞0），
（1）求a與b的數(shù)量積用k表示的解析式f（k）； 
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，請說明理由；若能，請求出相應(yīng)的k值；
（3）求向量a與向量b的夾角的最大值．
分析：（1）由，|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，兩邊平方化簡可得化簡可得4k
a
•
b
=k2+1，
從而可求f（k）
（2）若
a
⊥
b
可得
a
•
b
=
k2+1
4k
=0是否有解，來判斷
a
和
b
是否垂直
若
a
∥
b
可得|
a
•
b
|=|
a
||
b
|即
k2+1
4k
=1是否有解，來判斷
a
和
b
是否平行
（3）設(shè)
a
與
b
夾角為θ，根據(jù)向量的夾角公式可得cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
k2+1
4k
=
k
4
+
1
4k
=(
k
2
)2+(
1
2
k
)2
利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求
解答：解：（1）由題，|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，
所以(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2，
化簡可得4k
a
•
b
=k2+1，
∴f(k)=
a
•
b
=
k2+1
4k
(k＞0)；
（2）若
a
⊥
b
，則
a
•
b
=
k2+1
4k
=0，而
k2+1
4k
=0無解，因此
a
和
b
不可能垂直；
若
a
∥
b
，則|
a
•
b
|=|
a
||
b
|即
k2+1
4k
=1，解得k=2±
3
，
綜上，
a
和
b
不可能垂直；
當
a
和
b
平行時，k=2±
3
；
（3）設(shè)
a
與
b
夾角為θ，
則cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
k2+1
4k
=
k
4
+
1
4k
=(
k
2
)2+(
1
2
k
)2
=(
k
2
-
1
2
k
)2+
1
2
≥
1
2

因此，當且僅當
k
2
=
1
2
k
即k=1時，cosθ有最小值為
1
2
，此時，向量
a
與
b
的夾角有最大值為60°．
點評：（1）考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：|
a
|=
a
2

（2）考查了平面向量的垂直與平行的坐標表示：
a
⊥
b
?x1x2+y1y2=0；
a
∥
b
?x1y2-x2y1=0
（3）考查了向量的夾角公式與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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